正八面体型調和関数
正八面体群\(O_{h}\)の指標表と球面調和関数
正八面体群\(O_{h}\)の指標表は、 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & E & 3C_{2} & 8C_{3} & 6C_{4} & 6C_{2}' & I & 3\sigma_{h} & 8IC_{3} & 6IC_{4} & 6\sigma_{d} \\ \hline A_{1g} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline A_{2g} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \hline A_{1u} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline A_{2u} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ \hline E_{g} & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ \hline E_{u} & 2 & 2 & -1 & 0 & 0 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ \hline T_{1g} & 3 & -1 & 0 & 1 & -1 & 3 & -1 & 0 & 1 & -1 \\ \hline T_{2g} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \hline T_{1u} & 3 & -1 & 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ \hline T_{2u} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 & -3 & 1 & 0 & 1 & -1 \\ \hline \end{array} \] 一方、球面調和関数\(Y^{M}_{L}(\theta ,\phi)\)は、\(SO(3)\)の\((2L+1)\)次元既約表現\(D^{(L)}\)の基底で、\(O(3)\)の基底としては、空間反転\(I\)に対し、 \[IY^{M}_{L}(\theta,\phi)=Y^{M}_{L}(\pi-\theta,\phi+\pi )=(-1)^{L}Y^{M}_{L}(\theta,\phi)\] と変換するので、\(O(3)\)を\(O_{h}\)に制限したときの\(D^{(L)}\)の指標\(\chi^{(L)}\)は、 \[\chi^{(L)}(E)=2L+1\] \[\chi^{(L)}(C_{2})=\chi^{(L)}(C_{2}')=(-1)^{L}\] \[\chi^{(L)}(C_{3})=1 (L=0 \bmod 3), 0 (L=1 \bmod 3), -1 (L=2 \bmod 3)\] \[\chi^{(L)}(C_{4})=1 (L=0,1 \bmod 4), -1 (L=2,3 \bmod 4)\] \[\chi^{(L)}(I)=(-1)^{L}(2L+1)\] \[\chi^{(L)}(IC_{3})=1 (L=0,5 \bmod 6), 0 (L=1,4 \bmod 6), -1 (L=2,3 \bmod 6)\] \[\chi^{(L)}(IC_{4})=1 (L=0,3 \bmod 4), -1 (L=1,2 \bmod 4)\] \[\chi^{(L)}(\sigma_{h})=\chi^{(L)}(\sigma_{d})=\chi^{(L)}(IC_{2})=1\] であり、\(D^{(L)}\)を\(O_{h}\)の既約表現に分解したときの重複度は、\(L\)の偶奇に応じて次のようになる。\(L\)が偶数のとき、表現\(A_{1u},\ A_{2u},\ E_{u} ,\ T_{1u},\ T_{2u}\)の重複度は\(0\)であり、\(L\)が奇数のとき、表現\(A_{1g},\ A_{2g},\ E_{g} ,\ T_{1g},\ T_{2g} \)の重複度は\(0\)である。 \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline L & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 \\ \hline A_{1g} & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline A_{2g} & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 \\ \hline E_{g} & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 4 & 4 \\ \hline T_{1g} & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 \\ \hline T_{2g} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline L & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 21 & 23 \\ \hline A_{1u} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ \hline A_{2u} & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ \hline E_{u} & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ \hline T_{1u} & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 & 6 \\ \hline T_{2u} & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 & 4 & 5 & 5 & 6 \\ \hline \end{array} \] \(C_{2}, C_{3}, C_{4}, IC_{4}, IC_{3}\)の指標が\(L\)についてそれぞれ\(2, 3, 4, 4, 6\)の周期をもつので、合わせて\(12\)の周期となり、\(L=12\)以上では\(L-12\)との差が単位元\(E\)からの寄与だけとなる。\(O_{h}\)の既約表現のうちで、\(A_{1g}\)が、すべての元に対して不変となる表現で、\(A_{1u},\ A_{2u}\)は、空間反転\(I\)について符号が変わる表現、\(A_{2g},\ A_{2u}\)は、\(C_{4}\)について符号が変わる表現となる。
正四面体型調和関数と正四面体群\(T_{d}\)、正八面体群\(O_{h}\)の表現
正四面体型調和関数の基底と正四面体群\(T_{d}\)、正八面体群\(O_{h}\)の表現についてまとめると、以下のようになる。 \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & T_{d} & O_{h} \\ \hline |\psi_{3}> & A_{1} & A_{2u} \\ \hline |\psi_{4}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{6,o}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{6,t}> & A_{2} & A_{2g} \\ \hline |\psi_{7}> & A_{1} & A_{2u} \\ \hline |\psi_{8}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{9,o}> & A_{2} & A_{1u} \\ \hline |\psi_{9,t}> & A_{1} & A_{2u} \\ \hline |\psi_{10,o}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{10,t}> & A_{2} & A_{2g} \\ \hline |\psi_{11}> & A_{1} & A_{2u} \\ \hline |\psi_{12,o8}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{12,o12}> & A_{1} & A_{1g} \\ \hline |\psi_{12,t}> & A_{1} & A_{2g} \\ \hline \end{array} \] 正八面体群\(O_{h}\)についてすべての元で不変となる\(A_{1g}\)表現に属する基底は、\(|\psi_{4}>,\ |\psi_{6,o}>,\ |\psi_{8}>,\ |\psi_{10,o}>,\ |\psi_{12,o8}>,\ |\psi_{12,o12}>\)となる。\(L=12\)以下での正八面体型調和関数は以下のとおりである。
\(|\psi_{4}>\)
\(|\psi_{6,o}>\)
\(|\psi_{8}>\)
\(|\psi_{10,o}>\)
\(|\psi_{12,o8}>\)
\(|\psi_{12,o12}>\)
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